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title: 牛吃草问题
description: 牛吃草问题-数学应用题-上岸学堂
keywords: 牛吃草问题,数学应用题,上岸学堂,行测,数量关系
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# 牛吃草问题

### 一、题目特征：一边**匀速生长**，一边**匀速消耗**

假设草生长速度恒定，不同数量的牛吃光同一片草所需时间不同，求牛吃光草所需时间或求一定时间内吃光草所需牛数。

### 二、牛吃草相关公式

1. 牛头数 $$ \times $$ 天数 = 原有草量 + 每天草量 $$ \times $$ 天数

2. 原有草量 = $$ (\text{牛头数} - \text{草的生长速度}) \times \text{天数} $$

$$
\text{原有草量} = \text{牛头数} \times \text{天数} - \text{草的生长速度} \times \text{天数} = (\text{牛头数} - \text{草的生长速度}) \times \text{天数}
$$

3. 草生长速度 = $$ (\text{牛数 1} \times \text{吃草 t1} - \text{牛数 2} \times \text{吃草 t2}) / (\text{吃草 t1} - \text{吃草 t2}) $$

$$
\text{草的生长速度} = \frac{\text{牛数 1} \times \text{吃草时间 1} - \text{牛数 2} \times \text{吃草时间 2}}{\text{吃草时间 1} - \text{吃草时间 2}}
$$
（要将**草场面积统一**）

4. **吃的天数** = 原有草量 ÷ $$ (\text{牛头数} - \text{草的生长速度}) $$

5. **牛头数** = 原有草量 ÷ 吃的天数 + 草的生长速度

## 类推应用

### （一）公式

1. **总量初始值** = (消耗量 - 生长速度) × 时间

2. **生长速度** = (消耗量 1 × $$ t_1 $$ - 消耗量 2 × $$ t_2 $$) / ($$ t_1 - t_2 $$)

$$
\text{生长速度} = \frac{\text{消耗量 1} \times \text{消耗时间 1} - \text{消耗量 2} \times \text{消耗时间 2}}{\text{消耗时间 1} - \text{消耗时间 2}}
$$

3. **消耗时间** = 总量初始值 ÷ (消耗量 - 生长速度)

4. **消耗量** = (总量初始值 ÷ 消耗时间) + 生长速度

$$
\text{消耗量} = \frac{\text{总量初始值}}{\text{消耗时间}} + \text{生长速度}
$$


### （二）相关题型

- **总量初始值** 对应 **原有草量**
- **总量消耗速度** 对应 **牛数**
- **总量消耗时间** 对应 **吃草时间**
- **总量变化速度** 对应 **草变化速度**

## 例题讲解

**例1**
某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人
连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人
进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

- A.25                        
- C.30                        
- B.35         
- D.40

<BlurredAnswer>

**解析**：牛吃草，方法 1：公式法。  
(1) 设原有河沙量 $$ y $$，每月沉积河沙量 $$ x $$，80 人连续开采 6 个月，60 人连续开采 10 个月，
$$
\begin{cases}
y = (80 - x) \times 6 \\
y = (60 - x) \times 10
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x = 30 \\
y = 300
\end{cases}
$$

(2) 不枯竭，则每月开采量 = 每月沉积量，故最多供 30 人连续开采。**B**。

</BlurredAnswer>

**例2**
有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水
量相同。现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10
台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完？

- A. 10小时 
- B. 9小时 
- C. 8小时 
- D. 7小时 

<BlurredAnswer>
**解析**：设水池水量 $$ y $$，每小时漏出水量 $$ x $$，

$$
\begin{cases}
y = (5 - x) \times 40 \\
y = (10 - x) \times 15
\end{cases}
\quad x = 2, \quad y = 120
$$

设 14 台抽水时间 $$ t $$，则：
$$
120 = (14 - 2) \times t
$$
解得 $$ t = 10 $$。**A**。

</BlurredAnswer>

**例3**
某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，
而每分钟来的观众人数一样多.从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入
场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟.问如果同时开7个入场口
需几分钟？ 

- A.18 分钟                   
- C.22 分钟                   
- B.20 分钟   
- D.25 分钟 

<BlurredAnswer>

**解析**：D。两种方法，列方程和牛吃草公式。

方法 1：列方程
$$
\begin{cases}
y = (4 - x) \times 50 \\
y = (6 - x) \times 30
\end{cases}
\quad x = 1, \quad y = 150
$$
开 7 个入口，需要 \( 150 = (7 - 1) \times t \)，解得 \( t = 25 \)。

方法 2：公式法
每分钟增加的买票人数：
$$
= \frac{(4 \times 50 - 6 \times 30)}{(50 - 30)} = 1 \text{ 人}
$$
因此：
$$
150 = (7 - 1) \times t，解得 t = 25
$$

</BlurredAnswer>